Essa dúvida é uma angústia para muitas famílias, mas calma!

Nenhum herdeiro pode “herdar” dívidas, o que vai acontecer é que o próprio patrimônio do falecido irá responder por suas dívidas.
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Quando uma pessoa morre ela deixa um espólio, que nada mais é do que todos os seus bens, direitos e obrigações (dívidas).
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O espólio será dividido entre todos os herdeiros, mas antes da partilha, as dívidas deverão ser pagas com os recursos do próprio espólio.
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Se restar algum saldo, este será partilhado entre os herdeiros. Mas se a dívida for superior ao espólio, os herdeiros não herdarão o saldo das dívidas.
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Mas, as vezes, pode acontecer de uma dívida só ser cobrada após a partilha dos bens entre os herdeiros, nesse caso, cada herdeiro irá responder proporcionalmente pela dívida, mas somente até o limite do que tiver herdado.
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Assim, não é possível uma “herança de dívidas” e os herdeiros nunca vão ter que utilizar seu patrimônio pessoal para quitar as dívidas do falecido.